Quantencomputer, die theoretischen Grundlagen

⦁ Autor: Rhett Allain.
⦁ Rhett Allain Wissenschaft
⦁ Datum der Veröffentlichung: 03.25.16. 03.25.16
⦁ Zeitpunkt der Veröffentlichung: 14:31. 14:31

Sie können Quantum Mechanics klassische Teilchen in einem Box-Problem mit Code lösen.

Die Menschen haben Probleme mit der Quantenmechanik. Wir haben hervorragende Intuition über die Bewegung eines Tennisballs warf in der Luft, aber was ist mit einem Elektron in einem Kasten eingeschlossen? Die Tendenz ist die Verwendung der gleichen Tennis-Ball-Regeln und wenden Sie es auf das Elektron – aber es funktioniert nicht. Wir haben verschiedene Modelle zu verwenden, um Eigenschaften der sehr sehr kleinen Dinge zu erklären. Wir nennen diese Quantenmechanik (im Gegensatz zur klassischen Mechanik).
Natürlich kann ich nicht gehen über alle Details der Quantum Mechaniker, also lassen Sie mich Ihnen die gekürzte Fassung.
⦁ Wenn Menschen Kleinigkeiten studierte, bemerkten sie, dass klassische Modelle nicht funktionierte.
⦁ Vor allem schien es klar, dass das Elektron "Bahnen" in die Wasserstoff-Atom nur bei bestimmten Energien existieren könnte.
⦁ In einem weiteren Experiment wurde festgestellt, dass Elektronen durch Schlitze shooting Interferenzmuster Welle Störung ähnlich verursachen würde.
⦁ Warum nicht nur sagen, dass Partikel eine Wellennatur haben? Warum nicht nur eigen irgendeine Art von Wellengleichung für Partikel zu?
OK, ist es nicht passiert genau so – aber Sie get the Idea. Aus diesen Ideen bekommen wir die Schrödinger-Gleichung. Es ist ziemlich kompliziert, so lassen Sie mich zunächst die vereinfachte Version dieser Gleichung — der Zeit unabhängigen Schrödinger-Gleichung. Dies ist wahrscheinlich das, was Sie sehen werden, wenn Sie zuerst in der Quantenmechanik beginnen.

Was zum Teufel ist das? Lassen Sie mich einige Bemerkungen machen.
⦁ Dies ist die eindimensionale TISE, in dem die Variable nur x ist.
⦁ Ψ wird die Wellenfunktion bezeichnet. Es ist der Teil, der "winken" ist, wenn man bedenkt, dass die Wellennatur der Materie. Aber genau wie die die Intensität des Lichts ist proportional zum Quadrat des elektrischen Feldes, die beobachtbare Sachen hängt | ψ |2.
⦁ | Ψ |2 gibt Ihnen die Wahrscheinlichkeitsdichte – Hiermit können Sie die wahrscheinlich Standorte des Teilchens bestimmen. In der Quantenmechanik nicht beschäftigen wir uns mit Bewegungsgleichungen, wir beschäftigen uns mit Wahrscheinlichkeit.
⦁ E ist die Energie der Teilchen und V ist die potentielle Energie des Systems. Ja, es ist seltsam, dass wir für potentielle Energie statt U V verwenden (normalerweise V ist das elektrische Potential). Ich habe keine Ahnung warum.
⦁ ℏ ist eine konstante und m die Masse des Teilchens.
Das ist Ihre schnelle Einführung in die Quantenmechanik.
Teilchen in einer Box
Das erste Problem, das Sie in der Quantenmechanik löst ist ein Partikel in einer Box. Angenommen, es gibt ein eindimensionalen Kasten mit supersteif Wände. Es ist ein Ball in der Kiste, die mit keinen Energieverlust hin und her hüpfen kann.
Wie verwenden Sie die TISE, um die Wellenfunktion für diesen Fall zu finden? Nun, wir haben bereits eine Differentialgleichung – aber auch eine Lösung für ψ muss folgende Voraussetzungen erfüllen.
⦁ Es muss kontinuierlich sein.
⦁ Ψ muss Null in Regionen, wo das Teilchen nicht gefunden werden kann (wie außerhalb der Box).
⦁ Wie X, +/-unendlich geht, muss ψ gegen Null gehen.
⦁ Ψ muss normalizable sein. Dies bedeutet, dass Sie in der Lage sein zu integrieren | ψ |2 über alle x und setzen Sie ihn gleich eins. Dies ist dasselbe wie sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo 1 von 1 ist.
Wir brauchen nur noch eins – ein Ausdruck für die potentielle Energie. Wenn wir eine Kiste mit Wänden bei X = 0 und X = L, dann wird das Potential Null von X = 0 bis L und unendliche überall sonst. Nun es ist nur eine Frage der Lösung der Differentialgleichung und gelten die oben genannten Bedingungen.
Ich werde diesen Teil überspringen, weil ich wirklich wollen, um eine numerische Lösung zu bekommen. Sollten Sie durch diese Arbeiten selbst, es ist auch wahrscheinlich in Ihrem Lehrbuch der Physik. Allerdings ist dies die Lösung für die Wellenfunktion innerhalb des Kastens (außerhalb es ist null).

Für die Wellenfunktion A ist nur ein paar Konstanten (Sie können dies durch Normalisierung zu finden) und n ist eine Ganzzahl. Da Sie eine sinusförmige Lösung für die Wellenfunktion mit einer Randbedingung haben, funktionieren mehrere Werte von n . Mit ganzzahligen Werte von nbekommen wir auch die quantisierten Energiewerte wie oben gezeigt.
1926 veröffentlichte Schrödinger ein Papier beschreibt seine Ideen. Der Titel des Papiers war "Wellenmechanik" – nicht die Quantenmechanik. Dies ist wichtig, da es die Wellennatur der Materie ist, die quantisierte Energien führt. Ich möchte nur darauf hinweisen, dass.
Numerische Lösung für ein Teilchen in einer Box
Die analytische Lösung für das unendliche Quadrat ist auch nichts Neues. Sie finden in jedem Intro-Quantenmechanik-Lehrbuch. Aber wie können wir es numerisch lösen? Nur um klar, "numerisch" heißt den Prozess der Unterbrechung ein Problem in viele kleinere Probleme (sehen Sie viele Beispiele hier).
Die Schrödinger-Gleichung ist eine Differentialgleichung. Es stellt eine Verbindung zwischen der zweiten Ableitung vonψ (d2Ψ/dx2) und ψ. Die gleiche Idee können wir um die aktuelle Position eines Teilchens mit einer Kraft, die Zahlenwerte der Wellenfunktion zu finden zu finden. Erinnern Sie diese grundlegende Strategie von einer numerischen Berechnung in der klassischen Mechanik (wo p ist die Dynamik):

Ich kann das gleiche mit der Wellenfunktion. Lassen Sie mich Dot-Notation verwenden, um die Ableitung darzustellen (ψ-Punkt ist die erste Ableitung und ψ-Doppel Punkt ist die zweite). Dies gibt die folgende Näherung (technisch, ich bin mit der Dot-Begriff nicht falsch aber wir tun es trotzdem).

Beachten Sie, dass ich mit ψ-dot2 um den neuen Wert ψ zu berechnen. Das ist natürlich falsch, dass ich tatsächlich die durchschnittliche ψ-Dot verwenden soll. Das funktioniert allerdings noch, wenn Δx klein ist. Jetzt habe ich folgende Rezept:
⦁ Beginnen bei X = 0 m und ψ = 0 (auch ich hole ψ-Punkt gleich Null).
⦁ Ψ-Double Dot berechnen mithilfe Schrödingers-Gleichung.
⦁ Verwenden Sie ψ-Doppel Punkt ψ-Dot zu berechnen.
⦁ Verwenden Sie ψ-Punkt ψ zu berechnen.
⦁ Aktualisieren Sie die X-Position und es wieder tun, bis Sie ans Ende des Feldes.
Aber warten Sie! Was ist mit der Energie (E) in der Schrödinger-Gleichung? Für den Moment denke nur einen Wert für die Energie. Fangen wir mit E = 0. Schieben Sie einfach die Taste "Play" um den Code auszuführen.
Eindeutig eine Energie von Null funktioniert nicht, da die Wellenfunktion Null nicht bei X = L. Vielleicht sollten wir versuchen, eine andere Energie. Wählen Sie einfach etwas (Ich schlage vor, einen Wert von 1 – 10). Gehen Sie voran und ändern Sie den Code (Klicken Sie auf das Bleistift-Symbol bearbeiten, wenn Sie den Code nicht sehen) und führen Sie es dann erneut. Wie Sie sehen, wie Sie die Energie über 0 erhöhen, die Wellenfunktion näher und näher an Null bekommt bei X = L. Natürlich könnte Sie nur raten zu halten bis eine Lösung zu finden, oder wir könnten den Computer dafür machen.
Hier ist ein anderes Programm, das die Energie für die ψ findet = 0 an X = L. Es ist die "shooting-Methode" genannt, da wir ψ wieder berechnen, bis wir die richtige Antwort bekommen. Es ist irgendwie wie eine Kugel auf ein Ziel schießen, ändern die Launch-Winkel und reshooting bis wir das Ziel zu treffen.
Schauen wir uns den Code und dann werde ich einige Teile davon hinweisen.
Ein paar Hinweise zu verschiedenen Zeilen im Code (mit der Linie):
⦁ 11. ich beginnen mit E = 0, aber ich werde diesen Wert erhöhen. dE ist der Betrag, den ich in jeder Wiederholung zu erhöhen. Man könnte dies auf einen kleineren Wert ändern, wenn Sie eine genauere Lösung wollen.
⦁ 12. ich mache eine boolesche Variable namens "suchen". Wenn ich einen Wert für die Energie zu finden, dass Werke, ich nicht mehr auf der Suche sein wird also auf der Suche werden auf False gesetzt werden.
⦁ 13. Dies ist die Schleife, die die beste Energie sucht.
⦁ 14. rate(1000) sagt mehr als 1000 Loops pro Sekunde nicht zu tun, so dass Sie sehen können, wie sich die Sache ändert.
⦁ 15 – 18. Ich brauche die Variablen zurückgesetzt, bevor die Differentialgleichung zu lösen. F1.Delete() löscht die vorherige Grafik.
⦁ 19. Dies ist die gleiche Schleife wie das vorherige Programm, in dem die Lösung Schrödinger-Gleichung gelöst ist.